Nonlinear Interpolation and Total Variation Diminishing Schemes

The Van Leer approach for the approximation of nonlinear scalar conservation laws is studied in one space dimension. The problem can be reduced to a nonlinear interpolation and we propose a convexity property for the interpolated values. We prove that under general hypotheses the method of lines in well posed in l ∩ BV and we give precise sufficient conditions to establish that the total variation is diminishing. We observe that the second order accuracy can be maintained even at non sonic extrema. We establish also that both the TVD property and second order accuracy can be maintained after discretization in time with the second order accurate Heun scheme. Numerical illustration for the advection equation is presented. Interpolation non linéaire et schémas à variation totale décroissante Résumé Nous étudions le schéma de Van Leer pour l’approximation de lois de conservation scalaires à une dimension d’espace. Nous proposons une propriété de convexité de l’interpolation non linéaire associée à cette méthode. Nous prouvons que sous des hypothèses générales, le schéma continu en temps conduit à un problème bien Rapport de recherche Aerospatiale Espace et Defense, n ST/S 46 195, 6 juin 1990, reproduit au chapitre 4.4 de la thèse d’habilitation de l’auteur (16 décembre 1992). Version abrégée publiée dans les Proceedings of the 3rd International Conference on Hyperbolic Problems, Björn Engquist and Bertil Gustafsson Editors, Chartwell-Bratt, volume 1, pages 351-359, 1991. Edition TEX du 15 août 2005, mise en pages du 19 juin 2010. ∗ Conservatoire National des Arts et Métiers (Paris) et Université Paris Sud (Orsay), [email protected]. ha l-0 04 93 55 5, v er si on 1 19 J un 2 01 0